线性代数 - Linear Algebra

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速通线代（雾

  • 行列式计算
  • 矩阵
    • 乘法
    • 伴随矩阵
    • 逆矩阵
    • 高斯消元
    • 矩阵的秩
    • 解线性方程组
  • 向量组
    • 线性相关/线性无关
    • 线性方程组解的结构
    • 标准正交化
    • 方阵的特征值与特征向量
  • 相似矩阵
  • 对角化
  • 二次型及标准型

行列式

逆序数

在 个元素的任一排列中，当某一元素的先后次序与标准次序（一般为由小到大排列）不同时，就说它构成 1 个逆序. 在一个排列中的所有逆序的总数叫做逆序数.

不失一般性，设 个元素为 到 这 个自然数，并规定由小到大为标准次序，设 为一个排列，考虑元素 ，如果比 大的且排在 前面的元素有 个，就说 这个元素的逆序数是 . 全体元素的逆序数之总和

即是这个排列的逆序数.

逆序数为奇数的排列叫做奇排列，为偶数的排列叫做偶排列.

对换

在排列中，将任意两个元素对调，其他元素不动，这种作出的新排列的操作叫做对换. 将相邻两个元素对换，叫做相邻对换.

  • 定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.
    • 推论 奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数.

n 阶行列式的定义

其中 为 的逆序数， 为所有 排列的集合.

下三角行列式与对角行列式

  • 下三角行列式

  • 对角行列式

由上面的行列式的定义可知，要计算这两种行列式，均只需要计算他们的主对角线上元素乘积，即

行列式的性质

  • 性质 1 行列式与它的转置行列式相等.

  • 性质 2 对换行列式的两行（列），行列式变号.

    • 推论 若行列式有两行（列）完全相同，那么此行列式等于零

  • 性质 3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘同一数 等于用数 乘此行列式.

    • 推论 1 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.
    • 推论 2 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零

  • 性质 4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第 行的元素都是两数之和：

    则 等于下列两个行列式之和：

  • 性质 5 把行列式的某一行（列）的各元素乘同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变. 例如以数 乘第 行加到第 行上（记作 ），有

行列式按行（列）展开

在 阶行列式中，把 元 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做 元 的余子式，记作 ，并记

叫做 元 的代数余子式.

  • 定理 2 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

    或

    • 推论 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即

范德蒙德（Vandermonde）行列式

通过逐次降阶来计算

矩阵

符号

  • : 行 列矩阵，简称 矩阵.

  • 阶对角矩阵 —— 除主对角线，其他均为

  • 阶单位矩阵，全 的对角矩阵

矩阵的运算

乘法

定义 4 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那么规定矩阵 与矩阵 的乘积是一个 矩阵 ，其中

并把此乘积记作

对于单位矩阵 ，特别的有

转置

对于矩阵 沿主对角线翻转矩阵，记为 形式化的有

方阵的行列式

伴随矩阵

行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的矩阵

有

逆矩阵

对于 阶矩阵 若存在一个 阶矩阵 ，使

则称矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵.

的逆矩阵记为 ，若 则 .

  • 定理 1 若矩阵 可逆，则 .
  • 定理 2 若 ，则矩阵 可逆，且

  • 推论 设 为 阶矩阵，若 （或 ），则 可逆且

当 时， 称为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵.

  • 若 可逆，则 可逆，且
  • 若 可逆，数 ，则 可逆 ，且
  • 若 为同阶矩阵且均可逆，则
  • 若 可逆，则 亦可逆，且

分块矩阵

运算仍遵循一般矩阵的形式.

可记

其中

特殊的可分块矩阵

  • 分块对角矩阵

    其逆矩阵为

矩阵的初等变换

  • 对换两行（列）（对换 两行，记作 ，对应的两列为 ）
  • 以数 乘某一行（列）中的所有元（第 行乘 ，记作 ，相应的列为
  • 把某一行（列）所有元的 倍加到另一行（列）对应的元上去（第 行的 倍 加到 第 行上，记作 ，相应的列为 .

如果矩阵 经过有限次初等行变换变成矩阵 就称矩阵 与 矩阵 行等价，记作 ；相应的列变换，就称列等价，记作 ；如果矩阵 经过有限次初等变换变成矩阵 ，就称矩阵 与 等价，记作 .

行阶梯形矩阵
  1. 非零矩阵满足
    • 非零行在零行上面
    • 非零行的首元所在列在上一行（如果存在）的首元所在列的右面 则称此矩阵为行阶梯形矩阵
  2. 若 是行阶梯形矩阵，且
    • 非零行的首元为
    • 首元所在列的其他元均为 则称 为行最简矩阵

对行最简形矩阵再施以初等列变换，可变为标准型，即

初等矩阵

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵

设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 对左边乘相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 对右边乘相应的 阶初等矩阵.

  • 推论 方阵 可逆的充要条件是 ，其中 是可逆矩阵.

高斯消元——矩阵求逆

由增广矩阵

因此，在我们对整个增广矩阵作初等行变换，将 变为 对过程中， 变成了 （或者说记录了变换过程），通过这个方法便于手工计算矩阵的逆.

矩阵的秩

定义 4 在 矩阵 中，仍取 行与 列 ，位于这些行列交叉处的 个元素，不改变它们在 中所处的位置次序而得的 阶行列式，称为矩阵 的 阶子式.

矩阵 的 阶子式共有 个. 引理 设 ，则 与 中非零子式的最高阶数相等.

定义 5 设在矩阵 中有一个不等于 的 阶子式 ，且所有 阶子式（如果存在的话）全等于 ，那么 称为矩阵 的最高阶非零子式，数 称为矩阵 的秩，记作 ，规定零矩阵的秩等于 .

基本性质
  • 若矩阵 中有某个 阶子式，那么 ，若矩阵 中所有 阶子式全为 ，则
  • 显然，若 为 矩阵，则
  • 对于 阶矩阵 ，由于 的 阶子式只有一个 ，故当 时，；当 时，
  • 可逆矩阵秩 ，因此又称为满秩矩阵

定理 2 若 ，则

计算方法

对于一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的，然而对于行阶梯形矩阵，它的秩就等于非零行的行数，因此一般将矩阵转换为行阶梯形矩阵来求秩.

关于秩的性质
  • 若 可逆，则
  • 若 ，则

线性方程组的解

设有 个未知数 个方程的线性方程组

写成矩阵形式

定理 3 对 元线性方程组，即

  1. 无解的充分必要条件是
  2. 有唯一解的充分必要条件是
  3. 有无限多解的充分必要条件是

特殊的，若 ，则称为 元齐次线性方程组 有非零解的充分必要条件是

向量组

向量组及其线性组合

定理 1 向量 能由向量组 线性表达的充分必要条件是矩阵 的秩等于矩阵 的秩

定理 2 向量组 能由向量组 线性表示的充分必要条件是矩阵 的秩等于矩阵 的秩，即

推论 向量组 与向量组 等价的充分必要条件是

向量组的线性相关性

定义 4 给定向量组 ，若存在不全为零的数 ，使

则称向量组 是线性相关的，否则称它为线性无关.

定理 4 向量组 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 的秩小于向量个数 ；向量组 线性无关的必要条件是

向量组的秩

定义 5 设有向量组 ，如果在 中能选出 个向量 ，满足

  • 向量组 线性无关
  • 向量组 中任意 个向量（如果 中有 个向量的话）都线性相关，那么称向量组 是向量组 都一个最大线性无关向量组 （简称最大无关组），最大无关组所含向量的个数 称为向量组 的秩，记作

定理 6 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它行向量组的秩

线性方程组解的结构

齐次线性方程组

解集 是一个向量空间，设 为 的一个基，则 就是方程的通解

齐次线性方程组的解空间的一个基称为该齐次线性方程组的基础解系

定理 7 设 矩阵 的秩 ，则 元齐次方程组 的解空间 的维数

非齐次线性方程组

性质 1 设 及 都是向量方程的解，则 为对应的齐次线性方程组

的解

性质 2 设 是非齐次方程组的解, 是齐次方程的解，则 仍是方程组的解

于是，如果求得齐次方程的一个解 （称为特解），那么方程的通解为

向量内积

定义 1 设有 维向量

令

称为向量 与 的内积. 可写为矩阵记号

Schwarz 不等式

定理 1 若 维向量 是一组两两正交的非零向量，则 线性无关.

定义 3 设 维向量 是向量空间 的一个基，若 两两正交，且都是单位向量，则称 是 的一个标准正交基.

若 是 的一个标准正交基，那么 中任一向量 应能由 线性表示，设表达式为

为求其中系数 可用 左乘上式，有

标准正交化

设 是向量空间 的一个基，要求 的一个标准正交基，可以通过如下办法正交化

注意到

这个实际上是 在 上的投影向量，将 在其他向量方向上的投影都减去，那么剩下的即为与这些向量都垂直的分量.

然后把它们单位化，即取

就是 的一个标准正交基，上述的正交化方式，称为施密特（Schmidt）正交化.

正交矩阵

定义 4 如果 阶矩阵 满足

那么称 为正交矩阵，其充分必要条件是 的列（行）向量都是单位向量，且两两正交.

正交矩阵的基本性质
  • 若 为正交矩阵，则 也是正交矩阵，且 或 .
  • 若 和 都是正交矩阵，则 也是正交矩阵.

方阵的特征值与特征向量

定义 6 设 是 阶矩阵，如果数 和 维非零向量 使得

成立，那么这样的数 称为矩阵 的特征值，非零向量 称为 的对应于特征值 的特征向量.

也可以写成

那么有

上式称为矩阵 的特征方程，其左端是关于 的 次多项式，记作 ，称为矩阵 的特征多项式.

设 阶矩阵 的特征值为 ，不难证明

  • （其中 称为 的迹，记为 ）

设 为矩阵 的一个特征值，则方程

可求得非零解 便是 的对应于特征值 的特征向量.

这里有些微妙的东西，非零解 实际上是一组，每一个 都是特征向量.

特征值的性质

设 是方阵 的特征值

  • 是 的特征值
  • 当 可逆时， 是 的特征值. 由此类推，不难证明，若 是方阵 的特征值，则 是 的特征值； 是 的特征值（其中 . 这是特征值的一个重要性质

定理 2 设 是方阵 的 个特征值， 依次是与之对应的特征向量，如果 各不相等，则 线性无关.

相似矩阵

定义 7 设 都是 阶矩阵，若有可逆矩阵 ，使

则称 是 的相似矩阵，或说矩阵 与 相似. 对 进行运算 称为对 进行相似变换，可逆矩阵 称为把 变成 的相似变换矩阵.

定理 3 若 阶矩阵 与 相似，则 与 的特征多项式相同，从而 与 的特征值亦相同. 推论 若 阶矩阵 与对角矩阵

相似，则 即是 的 个特征值.

若有可逆矩阵 使 为对角矩阵，则

由此可方便地计算 的多项式 .

对角化

假设已经找到可逆矩阵 ，使 为对角矩阵. 把 用其列向量表示为

由 ，得 ，即

于是有

可见 是 的特征值，而 的列向量 就是 的对应于特征值 的特征向量. 由于 可逆，所以 有 个线性无关的特征向量

注意，这个是必要条件，并非充要条件，也就是这个是在存在对角化矩阵 的前提下成立的.

由于一般矩阵的对角化比较复杂，下面只介绍对称矩阵的对角化

性质 1 对称矩阵的特征值为实数

性质 2 设 是对称矩阵 的两个特征值， 是对应的特征向量. 若 ，则 与 正交.

定理 5 设 为 阶对称矩阵，则必有正交矩阵 ，使 ，其中 是以 的 个特征值为对角元的对角矩阵.

性质 3 设 为 阶对称矩阵， 是 的特征方程的 重根，则矩阵 的秩 ，从而对应特征值 恰有 个线性无关的特征向量.

由此给出把 阶对称矩阵 对角化的步骤：

  1. 求出 的全部互不相等的特征值 ，它们的重数依次为
  2. 对每个 重特征值 ，求方程 的基础解系，得 个线性无关的特征向量，在把它们正交化、单位化，得 个两两正交的单位特征向量，因 ，故总共可得 个两两正交的单位特征向量.
  3. 把这 个两两正交的单位特征向量构成正交矩阵 ，便有 . 注意 中对角元的排列次序应与 中列向量的排列次序相对应.

二次型及其标准形

定义 8 含有 个变量 的二次齐次函数

称为二次型.

若二次型只含有平方项，则称为标准二次型（简称标准形）；若二次型参数归一化，形如 ，则称为规范二次型（简称规范形）.

利用矩阵，二次型可表示为

记

则二次型可用矩阵记作

其中，主对角线上的元，就是平方项前的系数，而主对角线两边的元素的和是一般项前系数，其分别为系数的一半

标准型变换

记 ，把可逆变换记作

带入二次型中，有

定义 8 设 和 是 阶矩阵，若有可逆矩阵 ，使 ，则称矩阵 与 合同

定理 6 任给二次型 ，总有正交变换 ，使 化为标准形，其中 是 的矩阵 的特征值.

推论 任给 元二次型 ，总有可逆变换 ，使 为规范形.

配方法化二次型为标准型

例 15

具体来说，对于原始式子中有平方项的，先将平方项和含有这个平方项的一般项合并配方，重复配方，直到都为平方项.

随后令

则

变换矩阵即为

例 16

对于不含平方项的，先任意选一项，并令

带入得

再进行配方可得

令

即

则

所用变换矩阵为

正定二次型

定理 7 设二次型 的秩为 ，且有两个可逆变换

使

及

则 中正数的个数与 中正数的个数相等. 这个定理称为惯性定理

二次型的标准型中正系数的个数称为正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数，若二次型 的正惯性指数为 ，秩为 ，则 的规范形便可确定为

定义 10 设二次型 ，若对任何 ，都有 ，则称 为正定二次型，并称矩阵 是正定的；如果对任何 ，都有 ，则称 为负定二次型，并称矩阵 是负定的.

定理 8 元二次型 为正定的充分必要条件是：它的标准形的 个系数全为正，即它的规范形的 个系数全为 ，亦即它的正惯性指数等于 . 推论 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的特征值全为正.

定理 9 对称矩阵 为正定的充分必要条件是： 的各阶顺序主子式都为正；对称矩阵 为负定的充分必要条件是： 的奇数阶顺序主子式都为负，而偶数阶顺序主子式为正. 这个定理称为赫尔维茨定理.