曲线积分与曲面积分 - Curvilinear integral and surface integral

Posted on Edited on In , , Views: Word count in article: 5.6k Reading time ≈ 20 mins.
  • 前置芝士 🧀 - 曲面面积
  • 曲线积分
    • 第一类（对弧长）
    • 第二类（对坐标）
  • 曲面积分
    • 第一类（对面积）
    • 第二类（对坐标）
  • Green’s law（2D Stokes‘s law）
  • Gaussian’s law
  • Stokes‘s law

前置芝士 🧀

特殊形式

设曲面 由方程

为曲面 在 面上的投影区域，函数 在 上具有连续偏导数 和 . 要计算曲面 的面积 .

在闭区域 上取很小的闭区域 . 在 上取一点 ，曲面 上对应地有一点 ，点 在 上的投影点即为 . 点 处曲面 的切平面设为 . 以小闭区域 的边界为准线，作母线平行于 轴的柱面，这柱面在曲面 上截下一小片曲面，在切平面 上截下一小片平面，设其面积为 ，其可近似代替小曲面的面积。设点 处曲面 上的法线（方向朝上）与 轴所成的角为 ，则

而由曲面的法线方程可得法向量为

由此

因此

所以曲面 的面积为

一般形式

类似的，也可以投影到其他平面进行计算.

而对于一般化的曲面方程

法向量为

由此

所以曲面 的面积为

曲线积分

本质上对弧长的曲线积分等同于在标量场上的对坐标对曲线积分

对弧长的曲线积分（第一类）

定义

设 为 面内的一条光滑曲线弧，函数 在 上有界. 在 上任意插入一点列 把 分成 个小段. 设第 个小段的长度为 . 又 为第 个小段上任意取定的一点，作乘积 ，并作和 ，如果当各小段的长度的最大值 时，这和的极限总存在，且与曲线弧 的分法及点 的取法无关，那么称此极限为函数 在曲线弧 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作 ，即

其中 叫做被积函数， 叫做积分弧段.

上述定义可以类似的推广到积分弧段为空间曲线弧 的情形，即函数 在曲线弧 上对弧长的曲线积分

特别的，如果 是闭曲线那么函数 在闭曲线 上对弧长的曲线积分记为

对弧长的曲线积分的计算法

参数化全线

则

这里需要注意的是积分下限 一定要小于上限 ，这是因为弧段长一定为正，因此 需要为正.

对坐标的曲线积分（第二类）

可以简单理解为求做功

定义

设 为 面内从点 到点 的一条有向光滑曲线弧，函数 与 在 上有界. 在 上沿 的方向任意插入一点列 ，把 分成 个有向小弧段

设 , 点 为 上任意取定的点，作乘积 ，并作和 ，如果当各小弧段长度的最大值 时，这和的极限总存在，且与曲线弧 的分法及点 的取法无关，那么称此极限为函数 在有向弧 上对坐标 的曲线积分，记作 . 类似地，如果 总存在，且与曲线弧 的分法及点 的取法无关，那么称此极限为函数 在有向曲线弧 上对坐标 的曲线积分，记作 . 即

其中 叫做被积函数， 叫做积分弧段. 以上两个积分也称为第二类曲线积分.

上述定义可以类似地推广到积分弧段为空间有向曲线弧 的情形：

应用上经常出现的是

这种合并起来的形式，为简便起见，把上式写成

也可以写成向量形式

其中 为向量值函数， .

对坐标的曲线积分的计算法

定理 设 与 在有向曲线弧 上有定义且连续， 的参数方程为

当参数 单调地由 变到 时，点 从 的起点 沿 运动到终点 ，若 与 在以 及 为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且 ，则曲线积分 存在，且

这里必须注意，下限 对应于 的起点，上限 对应于 的终点 不一定小于 .

两类曲线积分之间的联系

有向曲线弧 的切向量为

它的方向余弦为

由对弧长的曲线积分的计算公式可得

因此

从物理的做功角度来看，这是非常直观的，对弧长的曲线积分意味着对于沿这段有向弧方向的力的功的积分，而对坐标则是更一般的形式，在力与位移方向不一致时，对力在位移方向上的分量进行积分.

因此也可以写为如下的向量形式

格林公式

定理 1 设闭区域 由分段光滑的曲线 围成，若函数 及 在 上具有一阶连续偏导数，则有

其中 是 的取正向的边界曲线，对于”正向“的规定是，区域在沿这个方向行近的边界的左侧.

而对于定理中函数要具有“一阶连续偏导数”这个限制，由以下这个例子说明

例 4 计算 ，其中 为一条不自相交、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线， 的方向为逆时针方向.

令 . 则当 时，有

记 围成的闭区域为 . 当 时，由格林公式可得

如果我们忽略了奇点 ，我们会得到错误的结果，那么为了解决这个问题，我们以原点为圆心，取一个适当小的 ，作位于 内的圆周 . 记 和 围成的闭区域为 . 对于复连通区域 ，应用格林公式有

其中 表示取 的负方向即逆时针方向，而 则表示取 的正方向，那么

事实上，这是一个全微分，因为其混合偏导数相等，那么我们可以求它的原函数

因此这个曲线积分实际上是

两段积分的意义分别在上半弧和下半弧的线积分.

曲面积分

对面积的曲面积分

可以理解为求曲面壳的质量，被积函数即为面密度

定义

设曲面 是光滑的，函数 在 上有界. 把 任意分成 小块 ( 同时也代表第 小块曲面的面积)，设 是 上任意取定的一点，作乘积 ，并作和 ，如果当各小块曲面的直径的最大值 时，这和的极限总存在，且与曲面 的分法及点 的取法无关，那么称此极限为函数 在曲面 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作 ，即

其中 叫做被积函数， 叫做积分曲面.

对面积的曲面积分的计算法

  • 参考前文 —— 让我们直接抄答案（雾

将这个积分与计算表面积的积分进行对比，可以发现计算表面积时，被积函数为 ，因此我们只要把「1」换成 即可.

设积分曲面 由方程 给出， 在 面上的投影区域为 ，函数 在 上具有连续偏导数，被积函数 在 上连续.

同理，对于一般情况，设积分曲面为 ，我们有

对坐标的曲面积分

关于曲面侧的定义

通常我们遇到的曲面都是双侧的. 对于一个曲面，我们可以分为 个方向，分别为上下侧、左右侧以及前后侧，而对于闭合曲面则可以分为内外侧，而我们也能通过曲面上法向量的方向来决定侧，反之亦能通过侧来说明曲面上法向量的方向. 这种取定了法向量亦即选定了侧的曲面，就称为有向曲面.

具体而言

侧
前/右/上
后/作/下

设 是有向曲面. 在 上取一小块曲面 ，把 投影到 面上得一投影区域，这投影区域的面积记为 假定 上各点处的法向量与 轴的夹角 的余弦 有相同的符号（即 都是正的或都是负的）. 我们规定 在 面上的投影 为

类似地可以定义 在 面及 面上的投影 及 .

对坐标的曲面积分的定义

设 为光滑的有向曲面，函数 在 上有界. 把 任意分成 块小曲面 ( 同时也代表第 小块曲面的面积)， 在 面上的投影为 ， 是 上任意取定的一点，作乘积 ，并作和 ，如当各小块曲面的直径的最大值 时，这和的极限总存在，且与曲面 的分法与点 的取法无关，那么称此极限为函数 在有向曲面 上对坐标 的曲面积分，记作 ，即

其中 叫做被积函数， 叫做积分曲面.

类似的可以定义函数 在有向曲面 上对坐标 的曲面积分 及函数 在有向曲面 上对坐标 的曲面积分 分别为

以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分.

在应用上出现较多的是

这种合并起来的形式. 为简便起见，我们把它写成

对坐标的曲面积分的计算法

将积分变量外的所有变量均用积分变量表示，并注意这里的面积微元是有正负的，不同于二重积分的面积微元衡正.

这里再次说明一下这个曲面侧的规定，我们上面三个对坐标的曲面积分的积分变量顺序分别是 这正是右手系叉乘的正项顺序，也就是当我们的法向量与 轴正向夹角为锐角时，沿 方向的投影，即在 面上的投影才为正，对于其他 个方向也是如此，而侧的规定，实质上就是对法向量方向的规定，取什么侧，就是法向量朝什么侧方向，侧不决定投影的正负，法向量和三轴的正方向夹角才决定正负.

两类曲面积分之间的联系

设有向曲面 由方程 给出， 在 面上的投影区域为 ，函数 在 上具有一阶连续偏导数， 在 上连续. 如果 取上侧，那么由对坐标的曲面积分计算公式有

另一方面，因上述有向曲面 的法向量的方向余弦为

故由对面积的曲面积分计算公式有

由此可见，有

类似地可推得

也可以写成这样的向量形式

高斯公式

定理 1

设空间闭区域 是由分片光滑的闭曲面 所围成，若函数 在 上具有一阶连续偏导数，则有

或

这里的 是 整个边界曲面的外侧.

通量和散度

设 向量场 ， 是 在点 处点单位法向量，则积分

则称为向量场 通过曲面 向指定侧的通量（或流量）.

叫做向量场 的散度，记作 ，即

斯托克斯公式

定理 1

设 为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以 为边界的分片光滑的有向曲面， 的正向与 的侧符合右手规则（右手拇指外的四指沿 绕行方向时，拇指所指方向与面法向量相同），若函数 在曲面 （连同边界 ）上具有一阶连续偏导数则有

这个公式称为斯托克斯公式，为了便于记忆，通常写成行列式形式

环流量与旋度

设 向量场 ， 是 在点 处点单位切向量，则积分

称为向量场 沿有向曲线 的环流量.

向量

称为向量场 的旋度，记作 ，也可写成

而

于是斯托克斯公式可写成下面的向量形式