- 空间曲面与曲线
- 法向量，切向量
- 切平面，法平面
- 方向导数与梯度
空间曲线的切线和法平面
设空间曲线的
的参数方程为
假定三个函数均在
上可导，且三个导数不同时为零. 要求该曲线上一点 处的切线及法平面，则可记
，并设
对应的参数为 ，则
为该点的一个切向量，从而曲线
上点 的切线方程为
那么过该点的法平面方程为
若曲线 的方程以
的形式给出，
为曲线上一点，又
有对各个变量的连续偏导数，且
这时该方程组在点
的某一邻域内确定了一组函数 . 要求曲线 在点 处的切线方程与法平面方程，只要求出
随后代入即可. 为此，在恒等式
两端分别对 求全导数，得
由此可以解得
空间曲面的切线与法线
设由隐式给出的曲面方程
为曲面 上一点，并设函数 在该点的偏导数连续且不同时为零.
通过在曲面 上，通过点 任意一条曲线 ，假定曲线的参数方程为
则在点 曲线的切线方程为
由曲面方程可得
因此
即
引入向量
则在点 的切向量
与向量
垂直，又因为这条曲线是任意的，所以 与曲线上过点 的任意一条曲线在点 的切线垂直，而这些切向量都在过点
的一个平面上，该平面称为切平面，切平面的方程为
而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线，方程为
而垂直于曲面上切平面的方程称为曲面的法向量
就是曲面 在点 处的一个法向量.
方向导数与梯度
方向导数
设一射线 的参数方程为
设函数 在点 的某个邻域 内有定义，
为 上另一点，且 . 如果函数增量 与 到
的距离 的比值
当 沿着 趋于 （即 ）时的极限存在，那么称此极限为函数 在点 沿方向 的方向导数，记作 即
- 定理 如果函数 在点
可微分，那么函数在该点沿任意方向
的方向导数存在，且有 其中 和 为方向 的方向余弦.
梯度
设函数 在平面区域 内具有一阶连续偏导数，则对于每一点
，都可定处一个向量
这称为函数 在点 的梯度，记作 或 即
其中 称为（二维的）向量微分算子或Nabla算子，.
那么对于方向导数
其中 .
梯度的几何意义
对于二元函数
在几何上表示一个曲面，这曲面被平面 z=c 所截得的曲线 的方程为
这条曲线 在 平面上的投影上一条平面曲线 ，它在 平面直角坐标系中的方程为
也称为函数
的等值线.
则等值线上任一点
处的一个单位法向量为
这表明函数上一点的梯度的方向就是等值线在这点的法向量方向 ，而梯度的模就是沿这个法线方向的方向导数，于是有
以上结论同样可以推广到三元、乃至多元函数的情况.