微分方程

期末复习，单变量微积分

• 可分离变量微分方程
• 齐次方程
• 一阶线性微分方程
• 二阶常系数齐次线性微分方程
• 二阶常系数非齐次线性微分方程（基础）

可分离变量微分方程

对于形如

的微分方程，称为一阶可分离变量微分方程，我们容易得到它的解

齐次方程

对于可化为

或

的一阶微分方程，称为齐次微分方程，可以通过如下方法化为可分离变量微分方程

一阶线性微分方程

形如

的微分方程，称为一阶线性微分方程，特别的，对于 的情况，此方程即为一阶可分离变量微分方程，以下讨论 的情况。

要解这个方程，有两种方法，各自产生的通解形式是等价的

一、凑全微分

观察左边式子，容易联想到两个函数乘积的导数，因此我们只需要构造一个函数

由于只需要任意一个 ，这里的 无需带上常数项

接下来

二、常数变易

首先考虑使 ，则此时微分方程的解

因为等式右边含常数因子，所以 与 即可取到正负，因此可以去掉绝对值，得到

现在我们考虑将 换成

回代到微分方程中

因而，微分方程的通解是

可以看到二者是等价的

二阶常系数齐次线性微分方程

形如

的微分方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，其中 为常数

求解此类微分方程我们可以构造一系列线性无关的特解，并进行线性组合，以此找到所有解

得到的方程称为特征方程，其解称为特征根，即所假设的特解的系数 ，接下来需要对解的情况做讨论

两实根

当 时,直接带入两根并线性组合即可，通解为

重根

由 可得 ，同时 ，我们采用常数变易法

积分可得

由此我们获得了另一个线性无关的解，则可得通解为

复根

当 时，得到两共轭复根 ，此时虽然两特解线性无关，但是我们并不希望其中出现复数，因而可通过欧拉公式做如下变换

于是我们获得两线性无关的特解 ，于是将其线性组合即可得到通解

二阶常系数非齐次线性微分方程

• 下文只讨论两种简单的情况

形如

的微分方程称为二阶常系数非齐次线性微分方程，可以看到其与对应齐次微分方程的区别仅为等式右边由 变为 ，其实齐次可以看作是非齐次的特殊情况

由齐次的通解 ，带入可得

那么我们可以猜测，一个特解 使得

那么我们就可以容易获得其通解形式

那么如何猜测特解呢？容易想到特解形式应当与 类似，以下分两种简单情况讨论

一、指数多项式

• ，其中 为关于 的 次多项式

我们可以猜测，解的形式与之类似，我们令

其中 为关于 的多项式，则

由于其中出现了 和 这两项，和其齐次微分方程的特征方程有关，因而需要分类讨论

1. 当 即 不是特征方程的根时
   因为此时方程左边多项式最高次由 决定，我们可以令 为关于 的 次多项式，这样通过待定系数，即可使等式两边相等，那么通解可写为
2. 当 时，根据解的分别情况，可能使 或 ，同时或其中一个等于
   可以继续分类讨论
   1. 当 是方程的单根时，，而
      因此，此时方程左边的多项式的最高次由 决定，为使可以通过代定系数法使等式恒成立，我们需要使 为关于 的 次多项式，那么我们应当令 为关于 的 次多项式，或者在通解上额外乘上 ，即
   2. 当 是方程的二重根时 和 都为 ，同理，此时应当令 为关于 的 次多项式，以保证 为 次多项式，或在通解上乘上 ，即

事实上，可令通解形式为

其中 即为 在特征方程中的根的重数，特别的，当 不是方程中的根时，

二、指数三角

• ，其中 分别为关于 的 和 次多项式

与上文类似，但需要复变，计算较为复杂，这里不做推导，解的形式类似，可以直接记忆

其中 , 与 或 是否为特征根有关，当其中一个是特征根时，，否则